PCB 基板介電常數量測：TRL 校正與四分之一波長共振法

高速與射頻 PCB 的阻抗與傳播延遲取決於板材介電常數。本文比較兩種量測方法──穿透反射線（TRL）校正與四分之一波長開路共振法──並保留原案例 FR4 樣品在有、無防焊層時的實測數據；上方計算器可由共振頻率、線長與線寬比換算有效介電常數與材料介電常數。

TRL 校正 · TRL Calibrationλ/4 共振法 · Quarter-wave Resonator防焊層影響 · Solder Maskεeff ↔ εr 換算

① 輸入參數Inputs

共振頻率 f0MHz 開路線長 lmil 開路端修正 lemil 共振階次 n1, 3, 5… 線寬／介質厚 W/H—

預設值取自表 2 的 1 GHz 線段（1613 mil）；FR4 上 50 Ω 微帶線的 W/H 約 1.9。le 為開路端邊緣電場的等效長度，未知時可先填 0。

② 計算結果Results

項目	說明	數值
εeff	有效介電常數（式 11）	—
εr	材料介電常數（由式 8／9 反推）	—
vp	相速度 c / √εeff	% c
td	單位長度延遲	ps/inch

εr 反推使用微帶線近似式，未計入防焊層；有防焊層時得到的是「含防焊層的等效值」。

四分之一波長法模型Quarter-wave Open Stub

在 f0 = n·c / (4(l + le)√εeff) 時開路線呈現短路，S21 出現共振凹陷，由凹陷頻率即可求 εeff。

原案例介電常數比較Measured εr vs Frequency

資料來自下方表 3、表 4（特定 FR4 樣品），不代表所有 FR4 的規格。

量測目的Purpose

高速與射頻 PCB 的阻抗與傳播延遲，會受到材料與幾何尺寸影響。量測時需指定頻率、板厚、線寬及防焊層條件。TRL 使用穿透（Thru）、反射（Reflect）及不同長度的傳輸線（Line）標準，校正量測參考面；四分之一波長共振法則在特定共振頻率取得另一組估算。比較方法時應使用相同板材、幾何條件與參考面，並區分有無防焊層。

有效介電常數影響傳播速度與單位長度延遲。若需分析介質損耗，還須區分導體、介質與輻射等損耗來源，不能僅由單一共振頻率推得所有損耗。

TRL 校正與傳輸線量測TRL Calibration Standards

下表為原案例的線段長度與適用頻帶。寬頻量測需選用合適的 Line 標準；實際校正頻帶取決於相位差及標準的特性，不能只依長度判定。

表 1：原案例的傳輸線標準與頻帶 · Table 1 TRL standards
標準	Min	Max	Delay	Line Length
Line 1	100 MHz	500 MHz	832.7 ps	5380.6 mil
Line 2	500 MHz	2.5 GHz	166.5 ps	1074.6 mil
Line 3	2.5 GHz	12.5 GHz	33.3 ps	212.2 mil
Thru	100 MHz	12.5 GHz	0	1000 mil
Ref	100 MHz	12.5 GHz	0	500 mil

校正後參數處理Propagation constant from S-parameters

完成校正後，量測各線段的 S 參數，轉成傳輸矩陣 M，由兩條不同長度線段的矩陣特徵值求得傳播常數 γ，再換算有效介電常數：

(1)　Mⁱ = (1 / S21_i) · [ (S21_iS12_i − S11_iS22_i)　S11_i ; −S22_i　1 ]
(2)　Mⁱ = X · Tⁱ · Y
(3)　Tⁱ = [ e^−γl_i　0 ; 0　e^γl_i ]
(4)　M^ij = M^j · (Mⁱ)⁻¹，特徵值 λ_1M、λ_2M
(5)　λ = ½ · ( λ_1M + 1 / λ_2M )
(6)　γ = ln(λ) / (l_i − l_j) = α + jβ
(7)　ε_eff = ( β·c / 2πf )²

有效介電常數與材料參數εeff and εr (microstrip)

微帶線的電場一部分在空氣中，因此量到的是有效介電常數 εeff，需再依線寬 W 與介質厚度 H 換算材料介電常數 εr。原案例使用下列近似式：

(8)　W/H ≤ 1：ε_eff = (ε_r + 1)/2 + (ε_r − 1)/2 · [ (1 + 12H/W)^−0.5 + 0.04·(1 − W/H)² ]
(9)　W/H ≥ 1：ε_eff = (ε_r + 1)/2 + (ε_r − 1)/2 · (1 + 12H/W)^−0.5
(10)　tan δ ≈ α · c / ( π · f · √ε_eff )　（α 為介質衰減，Np/m）

式 (8)(9) 反推：令 F 為方括號（或括號）內的值，則 ε_r = (2ε_eff − 1 + F) / (1 + F)，本頁計算器即依此換算。使用時需核對符號、單位及損耗假設。

四分之一波長共振法Quarter-wave Resonance Method

在主線旁分支一段開路傳輸線，當線長等於四分之一導波波長的奇數倍時，開路端經轉換在分支點呈現短路，S21 出現明顯凹陷。由量測的 S21 曲線辨識共振頻率與頻寬，再配合線段實際長度即可估算：

(11)　ε_eff = ( n·c / (4·f₀·(l + l_e)) )²　，n = 1, 3, 5 …
(12)　α = 8.686 · π · f₀ · √ε_eff / ( c · Q₀ )　（dB / 長度）
(13)　Q₀ = ( f₀ / Δf₀ ) / √( 1 − 2·|S21_RES|² )

l_e 表示開路端邊緣電場所對應的等效長度修正。下表列出原案例對應各頻率的開路線段長度：

表 2：四分之一波長結構的原案例尺寸 · Table 2 Open-stub lengths
頻率	500 MHz	800 MHz	1 GHz	1.2 GHz	1.4 GHz	1.75 GHz
Length	3227.8 mil	2016.7 mil	1613 mil	1343.8 mil	1151.5 mil	920.7 mil
頻率	2 GHz	3 GHz	4 GHz	5 GHz	6 GHz	12 GHz
Length	805.3 mil	535.9 mil	401.1 mil	320.2 mil	266.2 mil	131 mil

量測結果比較TRL vs Quarter-wave Results

原案例比較 FR4 樣品在有防焊層與無防焊層時，兩種方法量得的介電常數。表面微帶線的電場分布會受到防焊層影響；比較時應先確認討論的是材料介電常數，還是傳輸線的有效介電常數。以下為特定樣品數據，不代表所有 FR4 材料的規格或可用頻率上限。

表 3：無防焊層時兩種方法比較 · Table 3 Without solder mask
頻率	TRL：無防焊層	四分之一波長法：無防焊層
500 MHz	4.5636	4.6269
800 MHz	4.5246	4.4767
1 GHz	4.4787	4.4871
1.2 GHz	4.4453	4.4657
1.4 GHz	4.4435	4.4585
1.75 GHz	4.4493	4.4404
2 GHz	4.4601	4.4312
3 GHz	4.4762	4.4228

表 4：有防焊層時兩種方法比較 · Table 4 With solder mask
頻率	TRL：有防焊層	四分之一波長法：有防焊層
500 MHz	4.3967	4.4049
800 MHz	4.3718	4.3934
1 GHz	4.3495	4.3436
1.2 GHz	4.3329	4.3411
1.4 GHz	4.3225	4.3152
1.75 GHz	4.2972	4.3044
2 GHz	4.2894	4.2903
3 GHz	4.2723	4.2624

原案例中，兩種方法在 500 MHz–3 GHz 的差異大多在 0.06 以內；有防焊層時量得的數值較低，且隨頻率略為下降。解讀時應配合相同的結構模型，不能把單一樣品的差異直接視為所有板材的普遍規律。

設計上的使用方式Design Tips

控制 PCB 阻抗與訊號完整性時，應同時確認板材、疊構、線寬、銅厚、防焊層及工作頻率，並保留完整的量測條件。
板廠提供的介電常數常是特定頻率（例如 1 MHz 或 1 GHz）的值；射頻設計應使用接近工作頻率的量測值。
量得 εr 後，可代入微帶線計算器或接地共面波導計算器重新計算線寬。
最後仍須以實際製板與量測結果驗證設計。

常見問題 FAQ

TRL 與四分之一波長法要選哪一種？: TRL 可在寬頻帶連續取得傳播常數，但需要製作多條校正件；四分之一波長法結構簡單，只在各共振頻率得到數值，適合快速比對。
為什麼有防焊層時量到的值不同？: 表面微帶線的電場有一部分經過防焊層與空氣，防焊層改變了等效介質，因此量得的等效值與無防焊層時不同。
開路端修正 le 要怎麼取？: le 與線寬、介質厚度和介電常數有關，一般約為介質厚度的 0.3–0.5 倍；可製作兩種不同長度的開路線，由共振頻率差反推。